Teorema fundamental do Cálculo

Um dos conceitos mais importantes do cálculo que é pouco discutido em aula:

 Quando pensamos nas origens geométricas das derivadas e integrais, retas tangentes a curvas e áreas, respectivamente, não existe pista alguma que sugira o Teorema Fundamental do Cálculo. Para Eudoxo (cerca de 370 a.C.), Euclides (cerca de 300 a.C.), Arquimedes (287--212 a.C.), Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) e todos os outros matemáticos da antiguidade clássica, retas tangentes, quadraturas e cubaturas não tinham lugar de destaque dentre outros problemas geométricos. Para estes matemáticos, o Teorema Fundamental do Cálculo teria sido uma grande surpresa.
 

    Quando álgebra foi usada pela primeira vez para descrever curvas na geometria analítica de René Descartes (1596--1650) e Pierre Fermat (1601--1665), podemos ver os primeiros lampejos de uma conexão entre tangentes e quadraturas. Em seu estudo das "parábolas de ordem superior", y = kxⁿ, onde k é constante e n = 2, 3, 4, …, Fermat desenvolveu a fórmula y/k para a subtangente em qualquer ponto sobre a curva. A partir daí, e do nosso ponto de vista hoje, teria sido fácil encontrar a fórmula para a derivada; mas para Fermat, nx^n-1 não era o objetivo. Em alguma época na década de 1640, Fermat mostrou que a área entre qualquer uma das parábolas de ordem superior e o eixo horizontal, para 0 £ x £ a, era igual à área do retângulo de largura a e altura aⁿ/(k+ 1). Hoje, podemos ver que Fermat estava torturantemente próximo do Teorema Fundamental do Cálculo, como teria sido expresso em termos de suas parábolas de ordem superior. Mas aquilo não parecia ser de seu interesse.

Segue o link para o resto do texto:
http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/teofcal.htm