História das Equações Diferenciais

Até antes de entrarmos na faculdade, escutamos nossas professores ou familiares comentanto sobre o quão importante é o calculo diferencial integral, tanto que em muitos cursos essa é uma matéria obrigatória. Finalmente na univercidade temos a oportunidade de estudar esse famoso conceito. Entretanto como acontece com as definições de limite, derivadas e integrais, não aprendemos como surgiu esse campo tão importante da matemática. O que se segue é um resumo da surgimento desse conceito:

De várias maneiras, equações diferenciais são o coração da análise e do cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante para ciências físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim é amplamente aceito que equações diferenciais são importantes em ambas matemática pura e aplicada. A história sobre este assunto é rica no seu desenvolvimento e é isto que estaremos olhando aqui.
 

        Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a história deste assunto começa e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento. Existem vários contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise necessários para desenvolver muitas das idéias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram idéias inteiramente novas, inacessíveis à perspectiva do século 18 de Euler e sofisticadas além do entendimento de apenas uma pessoa.

Segue o site em que se encontra o resto do resumo:

http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histed.htm

Teorema fundamental do Cálculo

Um dos conceitos mais importantes do cálculo que é pouco discutido em aula:

 Quando pensamos nas origens geométricas das derivadas e integrais, retas tangentes a curvas e áreas, respectivamente, não existe pista alguma que sugira o Teorema Fundamental do Cálculo. Para Eudoxo (cerca de 370 a.C.), Euclides (cerca de 300 a.C.), Arquimedes (287--212 a.C.), Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) e todos os outros matemáticos da antiguidade clássica, retas tangentes, quadraturas e cubaturas não tinham lugar de destaque dentre outros problemas geométricos. Para estes matemáticos, o Teorema Fundamental do Cálculo teria sido uma grande surpresa.
 

    Quando álgebra foi usada pela primeira vez para descrever curvas na geometria analítica de René Descartes (1596--1650) e Pierre Fermat (1601--1665), podemos ver os primeiros lampejos de uma conexão entre tangentes e quadraturas. Em seu estudo das "parábolas de ordem superior", y = kxⁿ, onde k é constante e n = 2, 3, 4, …, Fermat desenvolveu a fórmula y/k para a subtangente em qualquer ponto sobre a curva. A partir daí, e do nosso ponto de vista hoje, teria sido fácil encontrar a fórmula para a derivada; mas para Fermat, nx^n-1 não era o objetivo. Em alguma época na década de 1640, Fermat mostrou que a área entre qualquer uma das parábolas de ordem superior e o eixo horizontal, para 0 £ x £ a, era igual à área do retângulo de largura a e altura aⁿ/(k+ 1). Hoje, podemos ver que Fermat estava torturantemente próximo do Teorema Fundamental do Cálculo, como teria sido expresso em termos de suas parábolas de ordem superior. Mas aquilo não parecia ser de seu interesse.

Segue o link para o resto do texto:
http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/teofcal.htm

História da Integral

Segue a história do desenvolvimento do próximo conceito importante sobre o cálculo. O conceito de Integral.

 O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Hoje, o uso do termo quadratura não mudou muito: matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um problema a uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral.

        Historicamente, Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lúnulas, regiões que se parecem com a lua próxima do seu quarto crescente. Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" (isto é, encontrar a área de um círculo) com uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc. Seu problema era o "etc.". Como a quadratura do círculo de Antiphon requeria um número infinito de polígonos, nunca poderia ser terminada. Ele teria que ter usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com rigor matemático. Mas Antiphon tinha o início de uma grande idéia agora chamado de método de exaustão. Mais de 2000 anos depois, creditamos a Eudoxo (cerca de 370 A.C.) o desenvolvimento do método de exaustão: uma técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas; esta técnica foi modificada para atacar cubaturas também.

O resto do texto se encontra no site: 

http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histintegral.htm

História da Derivada

Nas aulas de calculo sempre ouvimos dizer por exemplo, que a derivada surgiu do conceito de limite, entretanto apesar das demonstrações, não nos ensinam como as pessoas que desenvolveram o conceito de derivada chegou nessa conclusão. O texto abaixo irá discutir sobre esse assunto.

A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.

        A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

A continuação desse texto pode ser vista no site:
http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histderivada.htm

Khan Academy: Derivadas

A seguir a primeira parte de uma série de vídeos sobre derivadas:

 

O Khan Academy é basicamente um site que tem como objetivo espalhar conhecimento de qualidade sobre os mais diversos assuntos, entre eles biologia, história, economia, e é claro, cálculo.

Existe inclusive uma iniciativa de dublar os vídeos para português, que vem sendo feita por vários colaboradores brasileiros. Você pode conferir aqui: http://www.youtube.com/user/KhanAcademyPortugues/videos

Para maiores informações: http://www.khanacademy.org

Arthur Benjamin, o matemágico

Arthur Benjamin, Ph. D em ciências matemáticas, surpreende a todos com suas habilidades matemáticas:

História do Desenvolvimento do Limit

Continuando com a história do calculo, o primeiro passo nesse complexo desenvolvimento foi a geração do conceito de limite.

 Limites nos apresentam um grande paradoxo. Todos os conceitos principais do cálculo - derivada, continuidade, integral, convergência/divergência - são definidos em termos de limites. Limite é o conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática. Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do cálculo, limites devem vir primeiro . Porém, o registro histórico é justamente o oposto. Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século 18 e início do século 19, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a idéia de limite foi usada rigorosamente e corretamente.

        A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo uma distância finita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo (o tempo necessário para se mover metade da distância, em seguida o tempo necessário para se mover metade da distância restante, etc.) durante o qual o movimento deve ocorrer. A conclusão surpreendente de Zenão foi que o movimento era impossível! Aristóteles (384--322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zenão com argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão.

A continuação desse texto se encontra no site: 

http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histlimite.htm

What's up with pitagoras?!

Esse é só um exemplo dos vídeos que você pode encontrar no canal da Vihart, no youtube.

Ela apresenta de maneira dinâmica e descontraída conceitos matemáticos, além de várias curiosidades, tudo enquanto desenha. 

O único problema é que você precisa ter um inglês meio afiado pra entender as falas da moça.

A seguir outros vídeos dela que recomendo:

Origens do cálculo

Hoje em dia, podemos até saber como utilizar o calculo em diversas situações, e em que situações aplicar os diferentes temas que o calculo aborda. Entretanto o cálculo nem sempre esteve a nossa disposição. De onde surgiu o cálculo? Em que período ele foi inicializado e por que?

Zenão de Eleia

O site que irei passar o link mais abaixo, explica conta exatamente isso. Um processo interessante para quem se interessa.

http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/HistoriaCalculo.htm

Quadratura Gaussiana

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